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光速及折射率表达式推导

在没有自由电荷和传导电流的情况下,麦克斯韦方程组表达式如下:

\nabla \bullet \mathbf{D} = 0

\nabla \bullet \mathbf{B} = 0

\nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}

\nabla \times \mathbf{H} = - \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}

其中,

\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E} = \varepsilon_{0}\varepsilon_{r}\mathbf{E}

\mathbf{B} = \mu\mathbf{H} = \mu_{0}\mu_{r}\mathbf{H}

\nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} 两边取旋度,可得:

\nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{E} \right) = - \nabla \times \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} = - \frac{\partial}{\partial t}\left( \nabla \times \mathbf{B} \right) = - \text{εμ}\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}
利用矢量分析公式和 \nabla \bullet \mathbf{E}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\varepsilon}\nabla \bullet \mathbf{D} =0 两遍取旋度,可得:

\nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{E} \right)\mathbf{=}\nabla\left( \nabla \bullet \mathbf{E} \right)\mathbf{-}\nabla^{2}\mathbf{E} = \nabla^{2}\mathbf{E}

由此可得:

\nabla^{2}\mathbf{E}\mathbf{-}\text{εμ}\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}} = 0

\nabla^{2}\mathbf{E}\mathbf{-}v^{2}\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}} = 0

其中,
v = \frac{1}{\sqrt{\text{εμ}}}
表示电磁波传播速度,电磁波真空中的传播速度为
c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{0}\mu_{0}}} = 2.997924 \times 10^{8}\ m/s

折射率表达式为:

n = \frac{c}{v} = {\sqrt{\varepsilon_{r}\mu_{r}}}
其中\varepsilon_{r}和\mu_{r}分别表示材料的相对介电系数和相对磁导率。

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