光速及折射率表达式推导

在没有自由电荷和传导电流的情况下，麦克斯韦方程组表达式如下：

$$\nabla \bullet \mathbf{D} = 0$$

$$\nabla \bullet \mathbf{B} = 0$$

$$\nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$$

$$\nabla \times \mathbf{H} = - \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}$$

其中，

$$\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E} = \varepsilon_{0}\varepsilon_{r}\mathbf{E}$$

$$\mathbf{B} = \mu\mathbf{H} = \mu_{0}\mu_{r}\mathbf{H}$$

对$$\nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial
t}$$两边取旋度，可得：

$$\nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{E} \right) = - \nabla \times \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} = - \frac{\partial}{\partial t}\left( \nabla \times \mathbf{B} \right) = - \text{εμ}\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}$$

利用矢量分析公式和

$$\nabla \bullet \mathbf{E}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\varepsilon}\nabla \bullet \mathbf{D} =0$$

两遍取旋度，可得：

$$\nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{E} \right)\mathbf{=}\nabla\left( \nabla \bullet \mathbf{E} \right)\mathbf{-}\nabla^{2}\mathbf{E} = \nabla^{2}\mathbf{E}$$

由此可得：

$$\nabla^{2}\mathbf{E}\mathbf{-}\text{εμ}\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}} = 0$$

或

$$\nabla^{2}\mathbf{E}\mathbf{-}v^{2}\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}} = 0$$

其中，v表示电磁波传播速度，电磁波真空中的传播速度为

$$c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{0}\mu_{0}}} = 2.997924 \times 10^{8}\ m/s$$

折射率表达式为：

$$n = \frac{c}{v} = {\sqrt{\varepsilon_{r}\mu_{r}}}$$