光学学习笔记 #1：焦深与景深

写于 2025年6月29日 | 光学学习系列

基础概念

透镜成像的几何光学模型

在理想薄透镜模型中，成像遵循高斯公式：

​\frac{1}{f} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v}

参数说明：

• ​f：透镜焦距
• ​u：物距（物体到透镜的距离）
• ​v：像距（像到透镜的距离）

弥散圆（Circle of Confusion）

弥散圆是理解焦深和景深的关键概念：

• 当物点不在焦点平面上时，在像平面上形成的不是一个点，而是一个小圆
• 这个圆就叫做弥散圆
• 弥散圆直径小于某个临界值时，人眼仍然认为是"清晰的"

焦深（Depth of Focus）

定义

焦深是指在物距固定的情况下，像平面可以前后移动而仍能获得清晰像的距离范围。

数学推导

设透镜光圈的有效直径为 D，焦距为 f，许可弥散圆直径为 δ。

对于物距为 u 的物点，当像平面偏离理想像平面距离 Δv 时，弥散圆半径为：

​r = \frac{D}{2} \times \frac{|\Delta v|}{v}

其中 v 是理想像距。

要求弥散圆直径不超过 δ，即：​2r \leq \delta

因此焦深为：

​\text{DOF} = \frac{2\delta v}{D} = \frac{2N\delta v}{f}

其中 N 为光圈f数，f 为理想焦距。

焦深的影响因素

这个表格清晰地展示了影响焦深的各个因素及其关系。

景深（Depth of Field）

定义

景深是指在像距固定的情况下，物空间中能够形成清晰像的距离范围。

深入分析

前景深和后景深

设对焦距离为 ​u，对应像距为 ​v。考虑许可弥散圆 ​\delta：

前景深（近点到对焦点的距离）： ​\Delta u_1 = \frac{\delta u^2 N - \delta u N f}{f^2 + u\delta N}

后景深（对焦点到远点的距离）： ​\Delta u_2 = \frac{\delta u^2 N - \delta u N f}{f^2 - u\delta N}

总景深： ​\text{DOF}_{\text{total}} = \Delta u_1 + \Delta u_2 = \frac{2\delta N u^2 f^2 - 2\delta u N f^3}{f^4 - \delta^2 u^2N^2}

在通常情况下，u 远大于 f，因此可以简化为： ​\text{DOF}_{\text{total}} = \Delta u_1 + \Delta u_2 = \frac{2\delta N u^2 f^2}{f^4 - \delta^2 u^2N^2}

景深的影响因素

1. 光圈系数（​N = \frac{f}{D}）

• 光圈系数越大（光圈越小），景深越大

• 原因：小光圈限制了边缘光线，减小了离焦时的弥散圆大小

  

  

2. 焦距（f）

• 焦距越短，景深越大

  • 广角镜头（短焦距）：景深大

  • 长焦镜头（长焦距）：景深小

    

3. 对焦距离（​u_0）

• 对焦距离越远，景深越大
  • 远距离对焦：景深大，接近无穷远时后景深趋向无穷
  • 近距离对焦：景深小，微距摄影时景深极浅

实际应用分析

摄影中的景深控制

人像摄影

• 目标：突出主体，虚化背景
• 方法：大光圈（f/1.4-f/2.8） + 长焦距 + 近距离对焦
• 原理：三个因素协同作用，获得极浅景深

风景摄影

• 目标：前景到远景都清晰
• 方法：小光圈（f/8-f/16） + 广角镜头 + 超焦距对焦
• 原理：最大化景深范围

超焦距（Hyperfocal Distance）

定义：当对焦在无穷远时，景深近界点到镜头的距离。

计算公式： ​H = \frac{f^2}{N\delta} + f

实用意义：

• 对焦在超焦距时，景深从 ​\frac{H}{2} 延伸到无穷远
• 这是风景摄影中获得最大景深的技巧

数值实例

实例1：人像摄影

• 镜头：85mm f/1.4
• 对焦距离：2m
• 传感器：全画幅相机（​\delta = 0.03\text{mm}）
• 计算结果：景深约 ​\pm 22\text{mm}
• 效果：主体清晰，背景虚化

实例2：风景摄影

• 镜头：24mm f/8
• 对焦距离：超焦距（约2.4m）
• 传感器：全画幅相机（​\delta = 0.03\text{mm}）
• 计算结果：景深从​1.2\text{m}到无穷远
• 效果：前景到远景都清晰

Matlab code

% Depth of Focus and Depth of Field Calculation
% Author: sunfove
% Date: 2025-06-29
% All units are in millimeters (mm)

clear
clc

% === Input Parameters ===
N = 8;        % Aperture (f-number)
c = 0.03;       % Permissible Circle of Confusion (mm)
f = 24;         % Focal length (mm)
u = 2.4e3;       % Object distance (mm)
v = 20;         % Image distance (mm) [used only if u is not defined]

% === Image Distance Calculation (from thin lens equation) ===
if exist('u','var')
    v = 1 / (1/f - 1/u);
elseif exist('v','var')
    u = 1 / (1/f - 1/v);
end

% === Depth of Focus (image side tolerance) ===
dof0 = 2 * N * c * v / f;

% === Depth of Field (DoF) Calculations ===
du1 = (c * u^2 * N - c * u * N * f) / (f^2 + u * c * N);   % Front DoF, normal formula without c * u * N * f
du2 = (c * u^2 * N - c * u * N * f) / (f^2 - u * c * N);   % Rear DoF, normal formula without c * u * N * f
dof  = (2 * f^2 * u^2 * c * N - 2 * f^3 * c * u * N) / (f^4 - u^2 * c^2 * N^2);   % Total DoF

% === Hyperfocal Distance Calculations ===
H = f^2/(N*c) + f;


% === Print Results ===
fprintf('\n=== Depth of Field Calculation Results ===\n');
fprintf('Focal length (f): %.2f mm\n', f);
fprintf('Aperture (N): f/%.1f\n', N);
fprintf('Object distance (u): %.2f mm\n', u);
fprintf('Image distance (v): %.2f mm\n', v);
fprintf('Permissible circle of confusion (c): %.3f mm\n\n', c);

fprintf('Front Depth of Field (∆u1): %.2f mm\n', du1);
fprintf('Rear Depth of Field  (∆u2): %.2f mm\n', du2);
fprintf('Hyperfocal distance: %.2f mm\n', H);

if du2 < 0
    fprintf('Rear depth is negative ⇒ object is beyond hyperfocal distance ⇒ background is considered infinite.\n');
    fprintf('Total Depth of Field (DoF): infinite\n');
else
    fprintf('Total Depth of Field (DoF): %.2f mm\n', dof);
end


fprintf('\nDepth of Focus (image side tolerance): %.2f mm\n', dof0);